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判定四点共圆是解析几何中常见的问题，其解法主要有以下几种：

1.先求出经过其中三点的圆的方程，再把另一点坐标代入，若满足该方程，则这四点共圆.

例1 已知

圆C1：x2+y2+2x+2y=0

和C2：x2+y2-2x-2y-2=0,

求证：这两圆交点和两圆圆心四点共圆.

证明：过两圆交点的圆系方程是

x2+y2+2x+2y-2+λ(x2+y2-2x-2y-2)=0

当该圆经过圆C1的圆心(-1，-1)时可解得λ=1，

∴经过这三点的圆方程是x2+y2-2=0，再把圆C2的圆心(1，1)代入，发现其满足方程，故这四点共圆.

2.若能找到某一点，使该点到四点距离都相等，则这四点共圆.

例2 求证两椭圆

b2x2+a2y2-a2b2=0,

a2x2+b2y2-a2b2=0

的交点以原点为中心的圆周上，并求出这个圆的方程.

证明  由

b2x2+a2y2-a2b2=0

a2x2+b2y2-a2b2=0

可解得四个交点分别为

A(  )、

B(-  )、

C(-  )

D(  )

显然|OA|=|OB|=|OC|=|OD|,

故交点在以原点为圆心的圆周上，这个圆的方程是

x2+y2=

3.顺次连结四点得到一个四边形，若其对角互补，则这四点共圆.

如在例2中，∠ABC+∠CDA=180°，故四点共圆.

4.根据相交弦定理和切割线定理的推论(严格地说是利用它们的逆定理)证题.

例3 P(x0,y0)为平面上一点，过P作两条直线l1、l2分别与抛物线y2=2px相交，设交点依次为A、B、C、D，若l1、l2的倾斜角互补，求证：A、B、C、D四点共圆.

证明设l1的参数方程为

x=x0+tcosα,

y=y0+tsinα  (1)

则l2的方程为

x=x0-tcosα,

y=y0+tsinα  (2)

把(1)、(2)分别代入y2=2px,整理得：

sin2α·t2+2(y0sinα-pcosα)t+y02-2px0=0      (3)

和sin2α·t2+2(y0sinα+pcosα)t+y02-2px0=0   (4)

∵l1不与对称轴平行.

∴sinα≠0.

设方程(3)的两实根这t1、t2，方程(1)的两实根为t3、t4，则

|t1·t2|=|  |=|t3·t4|，

∴|t1·t2|=|t3·t4|，

根据参数的几何意义：

|PA·PB|=|PC·PD|.

由相交弦定理的逆或切割线定理的推论的逆可知，这四点共圆.

5.若四点

A(x1、y1)、B(x2、y2)、C(x3、y3)、D(x4、y4)中无三点共线，且满足

x12+y12       x1    y1     1

x22+y22       x2    y2      1

x32+y32       x3    y3      1     =0

x42+y42       x4    y4      1

则这四点共圆.

因为若四点共圆，则四点坐标都满足方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

即

x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,

x22+y22+Dx2+Ey2+F=0,

x32+y32+Dx3+Ey3+F=0,

x42+y42+Dx4+Ey4+F=0.

即四元齐次线性方程组

(xi2+yi2)x+xiy+yiz+t=0(i=1,2,3,4)

有非零解(1，D，E，F)，因此系数行列式为零，反之亦然.

例4 判断四点(1，1)、(2，3)、(-1，6)、(0，4)是否共圆.

解∵

   2  1  1  1

    13  2  3  1

D=  37 -1  6  1   =-460≠0.

    16  0  4  1

∴四点不共圆.

6.若四点坐标满足同一个圆方程，则这四点共圆.

如例2 可用下法解之：

两椭圆的交点坐标，必同时满足

a2x2+b2y2-a2b2=0

和     b2x2+a2y2-a2b2=0,

∴必满足

a2x2+b2y2-a2b2+(b2x2+a2y2-a2b2)=0

即   x2+y2=  .

∴四点坐标同时满足圆方程.

∴这四点共圆.

另外还可根据具体情况采取其它措施。如在例2中求出四个交点，发现四个点恰为一正方形的四个顶点，故可断定四点共圆.
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维护世界和平，共创美好盒子。

作者：

skertone (奇奇怪)	★☆☆☆☆	-
	盒子活跃会员

2003/10/28 9:29:27

4楼：

不错，公式还真一下子记不起来了
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作者：

fancylxs (fancylxs)	★☆☆☆☆	-
	普通会员

2003/10/28 18:11:16

5楼：

这么多公式那一个才是写在程序里的啊.
能不能把写到程序里的那几个公式写出来.最好再解释一下.

先谢了,着急啊.
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作者：

cnxxx (我本高手)	★☆☆☆☆	-
	盒子活跃会员

2003/10/28 18:42:28

6楼：

楼主懒得还可以嘛，3楼写得多，不过是写了几种可以证明4点共园的方法，你任选其一就行了，别告诉我“不知道键盘任意键在什么地方”。

真正的公式不过一两行，剩下的都是公式的证明和例子而已，别人好心回答，你看都不看就想照抄现成的东西，哎，悲哀！
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黑夜中，一眼望去，我就是高手。

作者：

bios (阿贡)	★☆☆☆☆	-
	盒子中级会员

2003/10/28 21:35:50

7楼：

圆的公式都忘了，以后要重修数学！
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作者：

jackken (jackken)	★☆☆☆☆	-
	普通会员

2003/10/29 16:20:27

8楼：

我想我也要重修了
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作者：

fancylxs (fancylxs)	★☆☆☆☆	-
	普通会员

2003/10/29 18:31:48

9楼：

(x1-x2)/(y1-y2)=(y0-(y1+y2)/2)/(x0-(x1+x2)/2)
(y1-y2)Y0+(x2-x1)X0=(y1^2-y2^2)/2-(x1^2-x2^2)/2

大家帮我证一下,这两个可以吗,有那一个好点.
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作者：

nachos (噜噜)	★☆☆☆☆	-
	普通会员

2003/10/29 21:03:01

10楼：

zizii你初等数学学的不错嘛~~

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噜噜无禁区
爱生活
爱么么

作者：

bjdribllec ( )	★☆☆☆☆	-
	盒子活跃会员

2003/10/30 8:11:03

11楼：

好象9楼的第一个公式差一个负号。
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作者：

fancylxs (fancylxs)	★☆☆☆☆	-
	普通会员

2003/10/30 18:40:40

12楼：

是在什么位置差一个负号.

编程序的时候是要两上公式全写上吗.
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作者：

bjdribllec ( )	★☆☆☆☆	-
	盒子活跃会员

2003/10/31 12:24:38

13楼：

9楼的第一个公式，好象是说两点连线的中垂线，
如果是那样的话，好象应在等式的某边乘上一个负号。
时间太久了，能还老师的我都还了。别介意，多半是我说错了。

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